从一道含双参数问题的解法说起

从一道含双参数问题的解法说起

                                                                                                                                                       推荐国内安全的网赌网站   陈春明

含参数问题的解法是高中数学的一大难点，不管涉及到哪个模块知识，学生对含参数的题型总是无从下手，特别是含多个参数的题型更是难上加难；在每次的考试中得分总是很低。当然如果平时解题中对含参数的题型加以梳理，总结它的解题规律，同时对这种题型加以拓展与延伸，却能起到事半功倍的效果。下面笔者从一道带参数的题目说题说起，来探索这类题型的解法。

题目： 已知向量=（x,),=(1,0),且（+）（—)=0.

     (1)求满足上述条件的点Q(x,y)的轨迹C的方程

     (2)设曲线C与直线:y=kx+m相交于不同的两点M、N,点A(0,-1),当|AM|=|AN|时,求实数m的取值范围.

   1．说题目出处




本题出自2018年二轮复习用书的一道例题。

   2．说题意
条件：①已知向量=（x,),=(1,0),②（+）（—)=0.；

结论：①轨迹C的方程 ②曲线C与直线:y=kx+m相交于不同的两点M、N,点A(0,-1),当|AM|=|AN|时,求实数m的取值范围.

涉及的知识点：①椭圆的标准方程；②两点间的距离公式；③直线方程。

   3．说解法
在对第(1)小题做出解答，并总结了规律后，重点对第(2)小题的解法进行了详细分析，具体如下：

对于(1)问，直接代入即可

(1)解： ∵（+）（—)=0..

        ∴2—32=0

        ∴   x2+3y2=3

         即+y2=1

     对于 (2)问，通过分析探索，有两种比较代表性的解题思路。

思路一：如果把两参数也看成变量，本题就是四变量→二变量→一变量的过程

具体就是：曲线C与直线相交于不同的两点联立方程组有两组解一元二次方程判别式Δ>0   得①式。由|AM|=|AN|得②式。再把①②两式联立，求得m得范围。

(2)解法一：联立方程组

         ，

消去y得：（3k2+1)x2+6mkx+3(m2—1）=0     

曲线C与直线相交于不同的两点

所以判别式Δ=36k2—12m2+12>0,

得m2<3k2+1     ①式

（i）当k=0时，|AM|=|AN|在—1

(ii)当k0时，设M（x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P（x0,y0).

则x0==—，y0=kx0+m=

AP的斜率KAP==

|AM|=|AN|

∴APMN

∴=， 得2m=3k2+1   ②

   由 ① ②得

综上所述，当k=0时,m 的取值范围是（—1,1）.当k0时,m 的取值范围是（,2）

对于解法一，把双参数的内在关系找出来，减少变量，得m,k两个关系式。不但可以求m的范围，也可求k得范围。

思路二：由|AM|=|AN|，可以认为椭圆C上总存在两点到A（0，—1）的距离相等。因此可以用点到点的距离求解。

   （2)解法二

   （i）当k=0时，|AM|=|AN|在—1

(ii)当k0时，设椭圆C上任意一点（x,y)到A（0，—1）的距离为d。

则d2=x2+(y—1）2

把+y2=1代入d2=x2+(y—1）2消去x得

d2=—2y2+2y+4   (—1《y《1）

要使|AM|=|AN|，即M（x1,y1),N(x2,y2)到A（0，—1）的距离相等

则yi+y2=1,即MN的中点纵坐标y0=.

因为k0，所以x(—，0）(0，）。

AP的斜率KAP===—   

得k=—

∴直线的方程可写为y—=—(x—x0)

即y=—x++

又的方程为y=kx+m

∴m=+

x(—，0）(0，）

∴m 的取值范围是（,2）

综上所述，当k=0时,m 的取值范围是（—1,1）.当k0时,m 的取值范围是（,2）

说拓展
：为了让学生更进一步掌握双参数问题的解法，做如下的变式和推广：

（ 其他不变）

     （1）.若A（0，—）     （此时A在椭圆外）

     （2）若A（0，—）    （此时A在椭圆内）

     （3）求椭圆C上的点到A的最大距离。

     （4）.是否存在以A为圆心的圆与椭圆C相切。

这样把整个问题拓展开，对原有的的题目进行变式拓展和一题多变，既可以加深对本题的理解，又可以拓宽学生的知识视野和解题思路，这样可以提高学生的解题能力。